ویروس کرونا و معادلات دیفرانسیل

یکی از کاربردهی معادلات دیفرانسیل در بررسی سرعت رشد بیماری های واگیر هست. که من الآن میخوام یک مدل ساده مبتنی بر معادلات دیفرانسیل رو برای سرعت رشد ویروس کرونا در شهر قم ارائه بدم. بدون هیچ توضیحی میرم سر نوشتن مدل و درنهایت نتیجه مدل رو هم با محاسبات کامپیوتری تحلیل میکنم.

( روش دیگه برای بررسی سرعت رشد بیماری استفاده از شبیه سازی مونت کارلو هست که اگر انشالله فرصت شد اون رو هم در اینده انجام میدم)

======

پارامترهای مدل:

 : تعداد افراد سالم در شهر در لحظه 

 : تعداد افراد بیمار که هنوز بیماری آن ها تشخیص داده نشده است در لحظه 

 : تعداد افراد بیماری که، بیماری آن ها تشخیص داده شده است در زمان 

: سرعت سرایت بیماری از افرادی که بیماری آنها تشخیص داده نشده به افراد سالم در زمان 

 : سرعت سرایت بیماری از افرادی که بیماری آنها تشخیص دادهنشده به افراد سالم در زمان 

 : سرعت بهبود افرادی که بیماری آنها تشخیص داده شده است  در زمان 

 : سرعت بهبود افرادی که بیماری آنها تشخیص داده نشده است در زمان 

 :  سرعت مرگ افرادی که بیماری آنها تشخیص داده شده است در زمان 

 :  سرعت مرگ افرادی که بیماری آنها تشخیص داده نشده است در زمان 

 : سرعت تشخیص بیماری در زمان 

در این صورت دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر تا حد قابل قبولی میتونه همه گیری بیماری رو مدل کنه:

بنابراین یک دستگاه معادلات دیفرانسیل غیر خظی مرتبه اول داریم که با حلش میتونیم به مدل سرعت رشد بیماری برسیم.

من پارمترهای مدل رو به صورت زیر تنظیم می کنم:

 : جمعیت شهر قم

 : افرادی که بیمار هستن ولی هنوز بیماری شون تشخیص داده نشده

 : افرادی که بیماری اونها تشخیص داده شده تا این لحظه

   : زیرا به مرور زمان مردم آگاه تر میشن و بیشترر مراقبت میکنن مریض نشن

 خیلی از افراد چون بدنشون مقاوم هست چند روز بعد از گرفتن بیماری خود به خود خوب میشن

 به مرور مهارت کادر درمان در تشخیص بیماری افزایش پیدا میکنه.

++++++++++++++++++++++

حل مدل: اول چند نکته در مورد حل این مدل بگم:

۱- کارایی مدل های اینجنینی تا حد زیادی وابسته به تخمین درست پارامترهای مدل هست و برای تخمین درست پارامترها نیاز هست که آمار درستی از مبتلایان در دسترس باشه که من به چنین آماری دسترسی نداشتم، من سعی گردم با توجه به اطلاعاتی که از رسد بیماری در ووهان چین در دسترس بود پارامترها رو تخمین بزنم.

۲- عملکرد خوب یا بد ما به شدت میتونه پارامترهای مدل رو در طول دروه بیماری تغییر بده و ننایج رو دستخوش تغییر کنه.

نمودار زیر تعداد افراد ناقل بیماری و همچنین تعداد افرادی که در بیمارستان بستری میشن و مشکل جدی پیدا میکنن رو برای ۱۰۰ روز نشون میده. نمودار سبز رنگ مربوط به افراد ناقل بیماری و نمودار آبی مربوط به کسانی هست که که مشکل جدی پیدا میکنن و باید تحت درمان اساسی قرار بگیرن. محور افقی تعداد روزهاست، و درنهایت بعد از حدود ۱۰۰ روز بیماری ریشه کن میشه. بعد از حدود یک ماه بیماری به اوج فعالیتش میرسه. ماکزیمم تعداد افرادی که همزمان دچار مشکل جدی میشن کمتر از ۵۰۰ نفر خواهد بود (اما تعداد افرادی که در مجموع مشکل جدی پیدا میکنن بیش از ۱۰۰۰ نفر خواهد بود)

و نمودار زیر هم تعداد کل فوتی ها رو برای حدود ۱۰۰ روزی که احتمالا با بیماری درگیر باشیم نشون میده. در نهایت با این پارامترهایی که من تنظیم کردم حدود ۱۰۰ نفر بر اثر این بیماری در شهر قم فوت خواهند کرد.

======================

نتایج مدل نشون میده که کنترل این بیماری به شدت وابسته به عملکرد ما در مواظبت از انتقال بیماری به دیگران هست مثلا اگر    به    تغییر کنه (یعنی افراد کمتر به مراقبت های بهداشتی عمل کنن و هر فرد مبتلا تعداد بیشتری رو مبتلا کنه) اون موقع تعداد تلفات بیماری میتونه به حدود ۴۰۰۰ نفر برسه!!!

پ ن: یه تبلیغم برای درس حل عددی معادلات دیفرانسیل کنیم که توش تکنیک های حل معادلات دیفرانسیل از نوعی که من اینجا نوشتم ارائه میشه. مسئله بالا به روش رانگ-کوتا-فهلبرگ و توسط دستور ode45 در متلب حل شده.

پ ن۲: برای مظالعه بیشتر مثال ۱.۶ از فصل اول این کتاب رو هم ببینید.

Griffiths, David F., and Desmond J. Higham. Numerical methods for ordinary differential equations: initial value problems. Springer Science & Business Media, 2010.

پ ن ۳: من معادله‌ی اول مربوط به مدل گسترش بیماری کرونا رو کمی تغییر دادم. ممنون از دکتر افشین بابایی از دانشگاه مازندارن برای دقت شون در مورد این معادله، که منجر به اصلاح معادله اول شد.